Elemen & Himpunan , Bilangan

Elemen

Elemen atau anggota ( bahasa inggris : member) dari suatu himpunan dalam matematika adalah objek-objek matematika tertentu yang membentuk himpunan itu. 
   
Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari defi nisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.

Contoh – contoh Himpunan

Untuk lebih memahami tentang pengertian himpunan silahkan perhatikan contoh kasus berikut ini!
a) Kumpulan pemuda ganteng
b) Kumpulan orang tua yang bijaksana
c) Kumpulan pena, buku, penggaris, penghapus, pensil
d) Kumpulan pisang, salak, duku, durian, rambutan, jeruk

Penjelasan contoh kasus himpunan

Pada contoh (a) kumpulan pemuda ganteng; pengertian ganteng itu relatif dan tidak dapat didefinisikan dengan jelas, dan (b) sifat bijaksana juga merupakan hal yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas karena setiap orang memiliki penilaian yang berbeda-beda (relatif).

Kesimpulan:

Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada contoh kasus (a) dan (b) di atas bukanlah termasuk contoh himpunan, karena anggota-anggotanya tidak dapat didefinisikan atau ditetapkan dengan jelas.
Sedangkan pada contoh kasus (c) merupkanan kumpulan alat tulis dan contoh (d) merupakan kumpulan buah-buahan.

Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa pada contoh kasus (c) dan (d) di atas merupakan contoh dari himpunan karena anggota- anggotanya dapat didefinisikan atau ditentukan dengan jelan. Yaitu (c) himpunan alat tulis dan (d) himpunan buah-buahan.

Cara Menyatakan suatu himpunan

Untuk menyatakan suatu himpunan, dalam bidang matetaika dapat dinyatakan dengan beberapa cara, diantaranya:

1. Menyatakan himpunan dengan menggunakan kata-kata atau menyebut syarat-syaratnya

Conyohnya adalah;
– A = { bilangan prima kurang dari 20 }
– B = { bilangan asli antara 7 sampai 25 }

2. Menyatakan himpunan dengan menyebutkan atau mendaftar anggota-anggotanya

Yaitu dengan cara anggota himpunan dituliskan di dalam kurung kurawal dan antara anggota yang satu dengan yang lainnya dipisahkan dengan tanda koma.

Contohnya adalah;

– A = { jeruk, salak, jambu, semangka, mangga }
(untuk himpunan yang anggotanya sedikit atau terbatas)

– B = { Aceh, Medan, Padang, Palembang, Bengkulu, Lampung, ….., Makasar }
(untuk himpunan yang anggotanya banyak tapi terbatas)

– C = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….. }
(untuk himpunan yang jumlah anggotanya banyak dan tidak terbatas)

3. Menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan

Cara menyatakana himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah dengan mengikuti aturan berikut ini;
a) Benda atau objeknya dilambangkan dengan sebuah peubah (a, b, c, …., z)
b) Menuliskan syarat keanggotaannya dibelakang tanda ‘I’

Contohnya adalah;

– A = { x I x < 7, x bilangan asli }
Dibaca: himpunan setiap x sedemikian hingga x adalah kurang dari 7 dan x adalah bilangan asli.

– B = { (x,y) I y + x = 7, x dan y bilangan asli }
Dibaca: himpunan pasangan x dan y sedemikian hingga y ditambah x sama dengan 7 untuk x dan y adalah bilangan asli.

4. Menyatakan himpunan dengan diagram Venn

Perhatikan gambar diagram Venn di bawah ini!
Diagram tersebut di atas memberikan gambaran bahwa;
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Macam-macam himpunan

1. Himpunan bilangan asli

A = { 1, 2, 3, 4, 5, … }

2. Himpunan bilangan cacah

C = { 0, 1, 2, 3, 4, …. }

3. Himpunan bilangan prima

P = { 2, 3, 5, 7, 11, …. }

4. Himpunan bilangan genap

G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, …. }

5. Himpunan bilangan ganjil

G = { 1, 3, 5, 7, 9, …. }

6. Himpunan bilangan komposit (tersusun)

T = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, …. }

7. Himpunan tak hingga

A = { 1, 3, 5, 7, ….. }, (n)A = ∞ (jumlah anggota himpunan A adalah tak terhingga)

8. Himpunan berhingga

B = { 1, 3, 5, 7 }, (n)A = 4 (jumlah anggota himpunan B adalah sebanyak 4)
9. Himpunan kosong
K = { himpunan bilangan prima antara 7 dan 9 }, K = { } (jumlah anggota himpunan K adalah tidak ada atau kosong)

10. Himpunan bagian

A = {2, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Semua anggota himpuna A adalah merupakan anggota himpunan B. Sehingga dapat dikatakan bahwa; A bagian dari B, ditulis A c B atau B memuat A ditulis B ﬤ A

11. Himpunan semesta

Bila A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka beberpa himpunan semesta pembicaraan yang mungkin untuk A adalah;
S = { bilangan asli }
S = { bilangan cacah }
S = { bilangan kelipatan 2 }

Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep maematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.

Berikut ini ada bagan jenis jenis bilangan :

Bagan jenis bilangan

1. Bilangan Kompleks
Bilangan Kompleks adalah bilangan yang berbentuk , dimana a dan b bilangan real dan i adalah bilangan imajiner.

2. Bilangan Real

Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal. Bilangan real mencakup bilangan rasional dan irasional.

3. Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat .

4. Bilangan Rasional
Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan  dimana “a” dan “b” bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.
Bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan nol, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan komposit

5. Bilangan Irasional

Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti).

Contoh: Bilangan , , dan bilangan .

6. Bilangan Bulat

Bilangan Bulat adalah semua bilangan bukan pecahan. Bilangan bulat terdiri dari bilangan nol, positif dan negatif.
Contoh : Bilangan positif 1,2,3,4,5,6,7,… ,bilangan negatif …,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1 dan bilangan nol “0”

7. Bilangan Pecahan
Bilangan Pecahan adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk  dengan “a” adalah bilangan pembilang dan “b” adalah bilangan penyebut. Dengan “b” tidak boleh sama dengan nol.
Contoh : Bilangan , , , , dll

8. Bilangan Cacah
Bilangan Cacah adalah bilangan bulat yang dimulai dari nol.
yang termasuk bilangan ini adalah : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…

9. Bilangan Asli
Bilangan Asli adalah bilangan bulat yang dimulai dari satu.
yang termasuk bilangan ini adalah : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,…

10. Bilangan Genap
Bilangan Genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua.
Contoh : Bilangan 2, 4, 6, 8, 10, 14, 20,… dll.

11. Bilangan Ganjil
Bilangan Ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dua.
Contoh : Bilangan 1, 3, 5, 7, 11, 17, 21, 31,… dll.

12. Bilangan Prima
Bilangan Prima adalah bilangan bulat lebih dari satu yang hanya bisa terbagi habis oleh 1 dan bilangan itu sendiri.
Contoh : Bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… dll.

13. Bilangan Komposit
Bilangan Komposit adalah bilangan asli lebih dari satu yang bukan merupakan bilangan prima.
Contoh : Bilangan 4, 6, 8, 9, 10, 12,… dll,